Integrale der Bewegung und Symmetrien

. Bei der Bewegung eines mechanischen Systems ändern sich die $2f$ Grössen $q_1,...,q_f$ unf $\dot q_1,....\dot q_f$ mit der Zeit $t$. Es gibt Funktionen $f(q,\dot q)$ dieser Grössen, die bei der Bewegung ihren Wert erhalten und nur von den Anfangsbedingungen abhängen. Diese Grössen heissen Erhaltungsgrösse oder Integrale der Bewegung. Einige davon, die eine erste Integration der BG geliefert haben, haben wir schon getroffen: $E$ und $\vec L$. Wieviele Integrale der Bewegung gibt es? Eine einfache Überlegung führt zur Antwort. Man stelle sich vor, dass es uns gelungen ist, die BG vollständig zu integrieren. Die produzierten $2f$ Funktionen lauten

$$\begin{eqnarray*} q_s = q_s(t+t_0, C_1,...,C_{2f-1})\\ \dot q_s = \dot q_s(t+t_0, C_1,...,C_{2f-1}) \end{eqnarray*}$$

wobei wir eine der Integrationskonstanten in der Form einer zu $t$ additiven Konstante gewählt haben. Auflösen dieser Gleichungen nach $Cj$ und Elimination der Zeit erlaubt, diese Konstanten - welche nur von den Anfangsbedingungen abhängen - als Funtkion von $q,\dot q$ auszudrücken. Bei der Konstruktion sind diese $2f-1$ Funtionen die Integrale der Bewegung. Unter diesen Funktionen befinden sich einige, die eine besondere Bedeutung haben. Das sind solche Erhaltungsgrössen, die aus allgemeinen Symmetriebetrachtungen hergeleitet werden können. Diese Erhaltungsgrössen können ermittelt werden, ohne irgendeinen Schritt zur Lösung der BG eingeleitet zu haben: sie hängen eben nur von der ''Symmetrie'' des Systems ab und treten bei allen Problemen auf, die die gleichen Symmetrien haben. Durch Symmetrieüberlegungen könnte es uns gelingen, eine teilweise Integration der BG zu erzielen, ohne dass wir viel Geschick besitzen (Geschick war nämlich im Spiel, als wir die BW im Kap. 2 ''geschickt'' mit einem Faktor multiplizierten, der dann zur Energie und Drehimpulserhaltung geführt hat!). Deswegen spielen Symmetrien eine sehr wichtige Rolle in der modernen Physik. Die Suche nach einer einheitlichen Beschreibung der Natur beginnt und endet mit der Frage nach der in der Natur zugrunde liegenden Symmetrien (von den Himmelskörpern bis zu den Quarks). Was meinen wir aber mit dem Satz ''Symmetrie eines Systems''? Und wie führen Symmetrien zur Existenz von Erhaltungsgrössen? Die Physik gibt auf diese Fragen eine ganz präzise Antwort, die eigentlich ziemlich universell ist. Es macht deshalb Sinn, die Frage jetzt in der Mechanik zu behandeln.