Die Drehimpulserhaltung

Eine weitere mögliche Symmetrie eines Systems ist die Rotationsinvarianz. Man stelle sich vor, alle Ortsvektoren seien instantan um eine gemeinsame Achse gedreht. Falls $L$ nach der Tansformation so aussieht wie vorher, dann ist $L$ rotationsinvariant. Zum Beipiel, eine nur vom Abstand abhängige potentielle Energie führt zur Rotationsinvarianz von $L$. Um die Rotationsinvarianz mathematisch zu formulieren, führen wir den Vektor $\delta \vec {\phi}$ einer infinitesimalen Drehung ein, deren Betrag gleich dem Drehwinkel $\delta \phi$ ist und deren Richtung mit der Drehachse zusammenfällt. Danach untersuchen wir, wie sich als Konsequenz dieser Drehung der Ortsvektor $\vec r$ ändert.

Durch diese Drehung ändert sich der Abstand $r$ nicht. Die lineare Verschiebung des Endes des Ortsvektors ist mit dem Winkel $\delta \phi$ durch die Gleichung $\vert \vec {\delta r}\vert = r sin \Theta \delta \phi$ dargestellt, siehe Figur. Der Vektor $\delta \vec{r}$ steht senkrecht auf der durch $\vec r$ und $\vec {\delta \phi}$ aufgespannten Ebene. Folglich ist

$$\begin{eqnarray*} \delta \vec {r_i}=\delta \vec {\phi}\times \vec{r_i}\\ \delta \dot {\vec r_i}= \delta \vec {\phi}\times \dot {\vec r_i} \end{eqnarray*}$$

und

$$\begin{eqnarray*} \delta L=\sum_i \overbrace{\frac{\partial L}{\partial \vec{r_... ...\varphi}\cdot \sum_i\frac{d}{dt}(\vec{r}\times m \dot{\vec{r}}) \end{eqnarray*}$$

Setzen von $\delta L$ für alle $\delta\vec{\varphi}$ zu Null ergibt die Erhaltungsgrösse

$$\sum_i \vec{r_i}\times m \dot{\vec r_i}\doteq {\vec{L}}$$

Der Vektor $\vec{L}$ wird Drehimpuls genannt. Die Erhaltung des Drehimpulses haben wir benutzt, um die Relativbewegung beim Zweikörperproblem auf einer Ebene zu vereinfachen. Wie beim Impuls, ist auch $\vec L$ komponentenweise erhalten. In einem Kraftfeld ist aber nur die Komponente erhalten, die entlang einer Symmetrieachse läuft. Damit eine Symmetrieachse existiert, muss $L$ gegenüber der Drehung um diese Achse invariant bleiben.