$^*$Skaleninvarianz

Eine weitere mögliche Symmetrie eines mechanischen Systems ist die Skaleninvarianz. Diese Symmetrie erlaubt, wichtige Schlüsse über die Eigenschaften der Bewegung zu ziehen, ohne explizit die BG zu lösen. Skaleninvarianz spielt in vielen Gebieten der Physik eine wichtige Rolle. Beispielsweise in der Nähe eines Phasenübergangs, besitzt ein makroskopisches System die Skaleninvarianz, und diese Tatsache legt sein Verhalten ziemich eindeutig fest, ohne dass viel über die Einzelheiten der für den Phasenübergang verantworlichen Wechselwirkung bekannt sein muss. Wir wollen am Beispiel der Mechanik diese wichtige Symmetrie beschreiben. Wir untersuchen den Fall, wo die potentielle Energie eine homogene Funktion der Koordinaten ist:

$$U(\alpha \vec r_1,...,\alpha \vec r_f) = \alpha^k U(\vec r_1,...,\vec r_f)$$

Hierin ist $\alpha$ eine beliebige Konstante und $k$ der Grad der Homogenität der Funktion. Wir führen nun eine Transformation durch, bei welcher alle Koordinaten mit der Konstante $\alpha$ multipliziert werden, und die Zeit mit der Konstante $\beta$: $\vec r_i \rightarrow \alpha \vec r_i$, $t\rightarrow\beta t$. Durch diese Transformation wird $L$ zu

$$L(\alpha \vec r_i,\frac{\alpha}{\beta}\dot {\vec r_i}) = \f... ...}{2}m_i\dot {\vec r_i}^2 - \alpha^k U(\vec r_1,...,\vec r_f)$$

Wenn man $\alpha$ und $\beta$ durch die Bedingung $\frac{\alpha^2}{\beta^2} = \alpha^k \leftrightarrow \beta = \alpha^{1-\frac{k}{2}}$ verknüpft, bekommt die Lagrange Funktion den selben Vorfaktor $\alpha^k$, d.h. die BG bleiben unverändert. Multiplikation aller Koordinaten mit dem selben Faktor führt zu neuen Bahnen, die den Ursprünglichen ähnlich sind und sich lediglich in den linearen Abmessungen von ihnen unterscheiden. Auf diesen geometrisch ähnlichen Bahnen verhalten sich alle Zeitdifferenzen zwischen entsprechenden Bahnpunkten wie $\frac{t'}{t} = (\frac{l'}{l})^{1-\frac{k}{2}}$, wobei $\frac{l'}{l}$ das Verhältnis der linearen Abmessung zweier Bahnen darstellt. Beispiel 1. Nehmen wir unser vertrautes Galilei Experiment. Multipliziert man die Koordinate $l$ mit einer Zahl, so wird die Masse tiefer gebracht, sagen wir zum Punkt $l' = \alpha l$. Damit die gleichen BG gelten, muss sich die Zeit zu $t'= t\cdot \alpha^{\frac{1}{2}}$($k=1$ im homogenen Feld der Erde) transformiert haben. Das ergibt $\frac{t'}{t} = \sqrt{\frac{l'}{l}}$. Das ist das Fallgesetz von Galileo, hergeleitet allein aus Symmetrieüberlegungen, ohne einmal die BG formuliert zu haben. Beispeil 2. Für die potentielle Energie zwischen zwei Massen gilt $k=-1$. Die Multiplikation der Koordinate mit einer Zahl bewirkt den Übergang auf eine ähnliche Ellipse. Die Gleichung $\frac{t'}{t} = (\frac{l'}{l})^{\frac{3}{2}}$ besagt, dass die Quadrate der Umlaufzeiten mit der dritten Potenz der Dimension der Ellipse variieren. Das ist ein eleganter Beweis des 3. Keplerschen Gesetzes. Beispeil 3. Für eine eindimensionale Bewegung mit $k=2$ (harmonische Oszillator) bedeutet die Gleichung $\frac{t'}{t} = (\frac{l'}{l})^0$, dass die Zeiten für eine vollständige Schwingung nicht von deren Amplitude abhängen.