Erhaltung der Energie

Wir beginnen mit dem Erhaltungssatz, der aus der Homogenität der Zeit folgt. Wir untersuchen das Verhalten von $L$ unter der Zeitverschiebung $t\rightarrow t + \epsilon$ für ein abgeschlossenes System, wobei $L$ nicht explizit von der Zeit abhängt. Dieses Verhalten ist so zu verstehen: Die potentielle Energie enthält den Abstand zwischen den Massen, der sich mit der Zeit verändert. Eine Zeittranslation bewegt die Massen entlang der Bahn und führt deswegen zu einer Änderung des Ortsvektors $\delta q \doteq q(t+\epsilon)-q(t) = \dot q \epsilon$ und der potentiellen Energie. Das Gleiche erfährt die kinetischen Energie, wobei $\delta \dot q \doteq \dot q(t+\epsilon)-\dot q(t) = \ddot q \epsilon$ ist. Sollten sich beispielsweise auch die Massen mit der Zeit ändern, (etwa durch Streuung in den Weltraum), dann würde $L$ einen zusätzlichen Term bekommen, der aber in einem abgeschlossenen System verboten ist. Die Variation $\delta L \doteq L(t+\epsilon)-L(t)= \frac{dL}{dt}\epsilon$ berechnet sich wie folgt:

$$\begin{eqnarray*} \frac{dL}{dt}\epsilon & = & \sum_{i}[ \frac{\partial L}{\parti... ...rtial \dot q_i} + \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\ddot q_i] \end{eqnarray*}$$

Wenn wir fordern, dass $\delta L =0$, dann folgt die Gleichung

$$\frac{d}{dt}[\sum_i\dot q_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - L] = 0$$

Hieraus folgt die Erhaltungsgrösse

$$\sum_i\dot q_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - L = E$$

die bei der Bewegung eines abgeschlossenen Systems erhalten bleibt. Diese Grösse heisst die Energie eines Systems. In kartesischen Koordinaten ist $E = 1/2 \sum_{i}m_i \dot {\vec r_i}^2 + U(\vec r_1,...\vec r_f)$, d.h. die Summe der kinetischen und der potentiellen Energie. Integrale der Bewegung führen nicht nur zur teilweisen Integration der BG, sondern man kann daraus auch Schlüsse über die Zustände des Systems zu ausgewählten Zeiten der Bahn ziehen, ohne die Bahn genau zu kennen.
Beispiel: Hebelarmgesetz. Man betrachte einen Hebel wie in der Figur.

Abbildung 3.1: Zur Herleitung des Hebelarmgesetzes

Zur Zeit $t=0$ seien beide Massen auf der gleichen Höhe $D$ in Ruhe. Lässt man sie los, werden sie ihre Gleichgewichtslage nur erreichen, wenn $l_1$ und $l_2$ geeignet gewählt werden. Um $l_1$ und $l_2$ zu bestimmen, schreiben wir den Energiesatz.

$$E(t=0)=m_1gD+m_2gD$$

Die Gleichgewichtsbedingung ist $\dot{z}_1=\dot{z}_2=0$. Eingesetzt in den Energiesatz ergibt dies die bekannte Hebelarmgleichung.

$$\begin{eqnarray*} m_1gD+m_2gD=\overbrace{\frac{1}{2}m_1\dot{z}_1^2}^{0} + \overb... ...ow \ m_1gD+m_2gD=m_1gD+m_2gD-m_1gl_1\sin\alpha+m_2gl_2\sin\alpha \end{eqnarray*}$$

$$\Leftrightarrow \ m_1l_1=m_2l_2$$

Beispiel: Fluchtgeschwindigkeit von der Erde. Eine Masse $m$ soll von der Erde unendlich weit weg transportiert werden. Mit welcher Geschwindigkeit soll man sie von der Erdoberfläche wegschiessen?
Um aus dem Schwerfeld der Erde entweichen zu können, bedarf es mindestens einer Geschwindigkeit von $0$ beim Erreichen von $r =\infty$. Die Erhaltung der Energie ergibt die Gleichung

$$\underbrace{\frac{m}{2}v_F^2}_{E_{kin}}-\underbrace{\gamma \frac{mM_E}{R_E}}_{E_{pot}}=0$$

$$\begin{array}{rl} M_E:& \textrm{Masse der Erde}\\ R_E:& \te... ...dradius}\\ v_F:& \textrm{Fluchtgeschwindigkeit}\\ \end{array}$$

Damit ist $v_F=11.2 km/sec= 40'320km/Stunde$.