Eindimensionale harmonische Schwingung

Obwohl wir die wesentlichen Merkmale der harmonischen eindimensionalen Schwingung um die Ruhelage schon physikalisch untersucht haben, wollen wir diese als Ausgangspunkt zu einer systematischen Untersuchung komplizierterer Arten von Schwingungen zusammenfassen. Wir bezeichnen die eindimensionale Koordinate als $x$, die eine Schwingung durchläuft. Lösung von linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. In einer linearen DG 2. Ordnung kommen $x$, $\dot x$, $\ddot x$ linear vor:

$$\begin{eqnarray*} A\ddot x+B\dot x+Cx+D=0\quad , \end{eqnarray*}$$

wobei $A$, $B$, $C$, $D$ Funktionen von $t$ sein können. Wenn der Term $D$ fehlt, nennen wir die Gleichung homogen. Die allgemeine Lösung der hom. DG ist die lineare Kombination zweier linear unhabhängiger Lösungen: $x_{hom}(t) = C_1 x_1^{h}(t) + C_2 x_2^{h}(t)$. Wenn man eine spezielle Lösung $x_{sp}$ einer inhomogenen linearen Differentialgleichung gefunden hat, erhält man die allgemeine Lösung der inhom. DG durch $x_{inhom.}(t)=x_{sp}(t)+x_{hom}(t)$. Beispiel: Homogene lineare Gleichungen mit konstanten Koeffizienten $(A,B,C)$. Solche DG löst man mit dem Ansatz $x(t)=e^{\lambda t}$. Aus der homogenen Differentialgleichung erhält man, durch Einsetzen, die algebraische Gleichung für $\lambda$, $A\lambda^2+B\lambda+C=0$. Sie wird charakteristische Gleichung genannt. Ihre zwei Lösungen geben, wenn sie nicht gerade zusammenfallen, zwei Lösungen der Differentialgleichung und damit die allgemeine Lösung $x=c_1e^{\lambda_1t}+c_2e^{\lambda_2t}$.

Wir wollen jetzt diese Betrachtungen für die formale Lösung der Gleichung $\ddot x + \omega^2 x = 0$ anwenden. Diese Gleichung ist die zur Lagrange Funktion $L=\frac{1}{2}m \dot x^2 -\frac{1}{2}k x^2$ gehörige Lagrange Gleichung, mit $\omega \doteq \sqrt{\frac{k}{m}}$. Die dazugehörige charakteristische Gleichung ist $\lambda^2 + \omega^2 =0$, so dass die allgemeine Lösung ist $x(t) = C_1cos(\omega t) + C_2sin(\omega t) = Ason(\omega t + \varphi)$, mit

1. $\omega :$ Kreisfrequenz
2. $A$: maximale Amplitude
3. $\varphi$: Phasenwinkel
4. $\nu = \frac{\mbox{$\omega $}}{\mbox{$2 \pi $}}$: Frequenz
5. $T = \frac{\mbox{$1$}}{\mbox{$\nu $}} = \frac{\mbox{$2 \pi $}} {\mbox{$\omega $}}:$ Schwingungsdauer

Einige Spezialfälle verdienen besondere Beachtung.

1. Wir lenken den Oszillator anfangs um $x_0$ aus, lassen ihn dann los und betrachten seine Schwingung. Die Anfangsbedingungen lauten offenbar $x(0)=x_0$, $\dot x(0) = 0$. Die Lösung zu diesen Anfangsbedingungen ist deshalb $x(t) = x_0 \cos \omega t$. Die Anfangselongation ist gleichzeitig die maximal Amplitude der Schwingung.
2. Wir stossen den Körper in seiner Ruhelage an und verleihen ihm die Geschwindigkeit $v_0$, $x(0)=x_0$, $v(0) = v_0$. Dies führt zu $x(t) = \frac{v_0}{\omega } \sin \omega t$. Die maximale Amplitude der Schwingung ist somit $A = \frac{v_0}{\omega}$.