Bohrsches Atommodell

Im Jahre 1913 entwickelte Niels Bohr ein Atommodell für das Wasserstoffatom. Danach umkreist das Elektron das Proton mit einer Geschwindigkeit v. Dabei erfährt es eine Zentrifugalkraft und eine entgegengesetzt gleich grosse elektrische Anziehungskraft.

Zwischen zwei elektrisch geladenen Teilchen treten elektrostatische Kräfte auf. Zwei gleich geladene Teilchen stossen sich ab, während zwei entgegengesetzt geladene Teilchen sich anziehen. Die elektrostatische Kraft wird beschrieben durch das Coulombsche Gesetz

Der Proportionalitätsfaktor ist von Einheitensystem abhängig. In SI - Einheiten beträgt er im Vakuum

Nach dem Coulombschen Gesetz existiert zwischen Elektron und Proton die elektrische Anziehungskraft

Das Elektron bewegt sich mit einer Bahngeschwindigkeit v und besitzt demnach eine Zentrifugalkraft

wobei m die Masse des Elektrons ist (m = 0.9109534*10^-30 kg).

Für eine stabile Umlaufbahn muss die Zentrifugalkraft entgegengesetzt gleich der elektrischen Anziehungskraft sein, somit muss folgendes gelten:

Die Energie des Elektrons auf der Kreisbahn setzt sich zusammen aus kinetischer Energie und potentieller Energie:

Die kinetische Energie ist definiert als:

Die potentielle Energie ist die Energie, die durch die elektrische Anziehung zwischen Proton und Elektron zustande kommt:

Die Gesamtenergie des Elektrons ist somit gegeben durch:

Die Energie ist somit nur vom Radius der Kreisbahn abhängig. Das Elektron kann sich laut Bohr auf allen Bahnen mit r = 0 bis r = .

Die klassische Mechanik akzeptierte das Bohrsche Atommodell, die klassische Elektrodynamik jedoch widersprach ihm. Das Elektron würde Enegie in Form von Licht abstrahlen und dadurch an Geschwindigkeit verlieren. Dies führt dazu, dass das Elektron in einer Spiralbewegung in den Kern stürzt.

Bohr reagierte nun und stellte folgende Annahme:

Das Elektron darf sich nicht auf beliebigen Bahnen aufhalten. Er kann sich nur auf ganz bestimmten Bahnen strahlungsfrei bewegen. Diese erlaubten Elektronenbahnen sind solche, deren Bahndrehimpuls mvr immer ein ganzzahliges Vielfaches einer Grundeinheit des Drehimpulses ist.

Die Grundeinheit des Bahndrehimpulses ist

Die mathematische Form des Bohrschen Postulats lautet:

n ist eine natürliche Zahl und wird Quantenzahl genannt.

Umformung obiger Gleichung ergibt

Auflösung nach dem Radius r ergibt

Indem wir die Werte für die Konstanten einsetzen, erhalten wir

Das Elektron darf sich somit nur in ganz bestimmten Abständen vom Kern entfernt aufhalten, damit es strahlungsfrei kreisen kann. Setzt man die verschiedenen n - Werte ein, so erhält die erlaubten Radien 0.053 nm, 0.212 nm, 0.477nm, 0.848 nm usw. .

Für die Geschwindigkeit gibt es ebenfalls Einschränkungen. Das Elektron sollte eine Bahngeschwindigkeit haben, die folgender Gleichung genügt:

Und schliesslich sollte das Elektron ganz bestimmte Energiewerte besitzen, die durch folgende Gleichung festgelegt sind:

Das Elektron ganz somit nur ganz bestimmte Energiewerte annehmen, die durch die Quantenzahl n festgelegt sind. Diese Quantelung hat somit zur Folge, dass das Elektron sich nur auf wohldefinierten Bahnen aufhalten kann.

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